Question

10．关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不等实根x₁、x₂．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x₁、x₂满足x₁+x₂=-x₁•x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²+1，根据x₁+x₂=-x₁•x₂得出-（2k+1）=-（k²+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．

解答 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$，
即实数k的取值范围是k＞$\frac{3}{4}$；

（2）∵根据根与系数的关系得：x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²+1，
又∵方程两实根x₁、x₂满足x₁+x₂=-x₁•x₂，
∴-（2k+1）=-（k²+1），
解得：k₁=0，k₂=2，
∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k只能是2．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．