题目内容

1．如图，在Rt△ABC 中，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由 A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（s），其中0＜t＜2，解答下列问题：

（1）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分？若存在，求出此时的t；若不存在，请说明理由；
（3）点P、Q在运动的过程中，△CPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

分析 （1）分两种情况：△PQA∽△BCA和△PQA∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（2）求出S△APQ，根据题意列出方程，解方程即可；
（3）分三种情况：PC=PQ、CP=CQ和QP=QC，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质和勾股定理解得即可．

解答 解：（1）①如图1，△PQA∽△BCA时，
$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{4}$，解得t=$\frac{10}{7}$，
②如图2，△PQA∽△CBA时，
 $\frac{5-t}{4}$=$\frac{2t}{5}$，解得t=$\frac{25}{13}$，
又∵0＜t＜2，
∴t=$\frac{10}{7}$或$\frac{25}{13}$；
（2）如图3，过点P作PH⊥CA，垂足为点H，
则△PHA∽△BCA，
∴$\frac{5-t}{5}$=$\frac{PH}{3}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S△APQ=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t2+3t，
线段PQ将△ABC的面积分成1：2两部分，
∴S△APQ=$\frac{1}{3}$ S△ABC=$\frac{1}{3}$×6=2或S△APQ=$\frac{2}{3}$ S△ABC=$\frac{2}{3}$×6=4，
即：-$\frac{3}{5}$t2+3t=2或-$\frac{3}{5}$t2+3t=4，
-$\frac{3}{5}$t2+3t=2时，整理得：3t2-15t+10=0，
t1=$\frac{15+\sqrt{105}}{6}$ （舍去）（t1=$\frac{15+\sqrt{105}}{6}$＞2），t2=$\frac{15-\sqrt{105}}{6}$，
∴t=$\frac{15-\sqrt{105}}{6}$，
-$\frac{3}{5}$t2+3t=4时，整理得：3t2-15t+20=0，
∵△＜0，
∴t无解．
∴t=$\frac{15-\sqrt{105}}{6}$；
（3）①如图4，当PC=PQ时，过点P作PG⊥CA，
垂足为点H，由三线合一可知：HQ=2-t，
又∵△PHA∽△BCA时，
 $\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t+（2-t）}{4}$，
∴t=$\frac{10}{9}$；
②如图5，当CP=CQ时，过点P作PM⊥CB，垂足为点M，
由△BMP∽△BCA可知：BM=$\frac{3}{5}$t，MP=$\frac{4}{5}$t，
∴CM=3-$\frac{3}{5}$t，
在Rt△PMC 中，由勾股定理得：（$\frac{4}{5}$t）2+（3-$\frac{3}{5}$t）2=（4-2t）2，
整理得：15t2-62t+35=0，
解得t=$\frac{31±2\sqrt{109}}{15}$，
即t1=$\frac{31+2\sqrt{109}}{15}$，t2=$\frac{31-2\sqrt{109}}{15}$，
∵t1=$\frac{31+2\sqrt{109}}{15}$＞2．
∴t1=$\frac{31+2\sqrt{109}}{15}$ （舍去），
∴t=$\frac{31-2\sqrt{109}}{15}$，
③如图6，当QP=QC时，过点Q作QN⊥AB，垂足为点N，
由△AQN∽△ABC可知：NQ=$\frac{6}{5}$t，NA=$\frac{8}{5}$t，
∴PN=5-t-$\frac{8}{5}$t=5-$\frac{13}{5}$t，
在Rt△QNP 中，由勾股定理得：（$\frac{6}{5}$t）2+（5-$\frac{13}{5}$t）2=（4-2t）2，
整理得：21t2-50t+45=0，
∵△=-1280＜0，
∴方程无解，
∴当t=$\frac{10}{9}$或t=$\frac{31-2\sqrt{109}}{15}$时，△CPQ是等腰三角形．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

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