Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值；
（3）点P抛物线的对称轴上一点，当△PBD与△CAB相似时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；
（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3

2

，再过点A作AH⊥BC，垂足为H，利用tan∠ACB=

AH

CH

求出即可；
（3）先求出边AD，BC、AB的长度，根据数据可得∠B与∠D都是45°角，然后分AD与AB是对应边与AD与BC是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出DP的长度，从而点P的坐标便可求出．

解答：解：（1）∵抛物线过点B（3，0），点C（0，3），
∴

32+3b+c=0 c=3

，
解得

b=-4 c=3

，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x+3，
又∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点D的坐标是：D（2，-1）；

（2）∵抛物线y=x²-4x+3与x轴交于点A、B两点（点A在B点的左侧），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO=CO=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3

2

，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=2，∴AH=BH=

2

，
∴CH=BC-BH=2

2

，
∴tan∠ACB=

AH

CH

=

2

2 2

=

1

2

；

（3）设对称轴与x轴相交于点E，则AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD=

DE2+AE2

=

2

，且∠ADE=45°，
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC=

OC2+OB2

=

32+32

=3

2

，且∠ABC=45°，
设点P的坐标是（2，y），
∵△ADP与△ABC相似时，
∴①当AD与AB是对应边时，

DP

BC

=

AD

AB

，
即

DP

3 2

=

2

2

，
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴点P的坐标是（2，2）
②当AD与BC是对应边时，

DP

AB

=

AD

BC

，
即

DP

2

=

2

3 2

，
解得DP=

2

3

，
y-（-1）=

2

3

，
解得y=-

1

3

，
∴点P的坐标是（2，-

1

3

）．
综上所述，点P的坐标是（2，2）或（2，-

1

3

）．

点评：本题考查了二次函数综合题待定系数法求函数解析式，顶点坐标，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，（3）中注意相似三角形的对应边不明确，要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．