Question

如图1，一次函数y=2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，一次函数图象与坐标轴围成的△ABO，我们称它为此一次函数的坐标三角形．把坐标三角形面积分成相等的二部分的直线叫做坐标三角形的等积线．
（1）求此一次函数的坐标三角形周长以及分别过点A、B的等积线的函数表达式；
（2）如图2，我们把第一个坐标三角形△ABO记为第一代坐标三角形．第一代坐标三角形的等积线BA₁，AB₁记为第一对等积线，它们交于点O₁，四边形A₁OB₁O₁称为第一个坐标四边形．求点O₁的坐标和坐标四边形A₁OB₁O₁面积；
（3）如图3．第一对等积线与坐标轴构成了第二代坐标三角形△BA₁O．△AOB₁分别过点A，B作一条平分△BA₁O，△AOB₁面积的第二对等积线BA₂，AB₂，相交于点O₂，如此进行下去．…，请直接写出O_n的坐标和第n个坐标四边形面积（用n表示）．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0求出x的值，令x=0求出x的值，从而得到点A、B的坐标，再求出OA、OB的长，然后利用勾股定理列式求出AB，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解；根据等积线的定义求出A₁、B₁的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）联立两等积线解析式求解即可得到O₁的坐标，再根据坐标四边形A₁OB₁O₁面积=S_△AOB1-S△_AA1O1，列式计算即可得解；
（3）根据等积线的定义求出OA_n、OB_n，从而得到A_n、B_n的坐标，再利用待定系数法写出AB_n、BA_n的解析式，联立求解即可得到点O_n的坐标，再根据坐标四边形面积=S_△AOBn-S_△AAnOn，列式计算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得，x=-2，
令x=0，则y=4，
∴点A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

22+42

=2

5

，
所以，周长为6+2

5

，
∵AB₁、BA₁是等积线，
∴A₁（-1，0），B₁（0，2），
∴等积线的函数表达式：y=4x+4，y=x+2；

（2）联立

y=4x+4 y=x+2

，
解得

x=- 2 3 y= 4 3

，
∴O₁（-

2

3

，

4

3

），
坐标四边形A₁OB₁O₁面积=S_△AOB1-S△_AA1O1，
=

1

2

×2×2-

1

2

×（2-1）×

4

3

，
=2-

2

3

，
=

4

3

；

（3）由题意得，OA_n=

2

2n

，OB_n=

4

2n

，
所以，等积线BA_n的解析式为：y=2ⁿ⁺¹x+4，
AB_n的解析式为：y=

1

2n+1

x+

4

2n

，
联立

y=2n+1x+4 y= 1 2n+1 x+ 4 2n

解得

x=- 2 2n+1 y= 4 2n+1

，
∴点O_n（-

2

2n+1

，

4

2n+1

），
坐标四边形面积=S_△AOBn-S_△AAnOn，
=

1

2

×2×

4

2n

-

1

2

×（2-

2

2n

）×

4

2n+1

，
=

4

2n

-

4(2n-1)

2n(2n+1)

，
=

8

2n(2n+1)

，
=

23-n

2n+1

．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点坐标的求解，联立两函数解析式求交点坐标，读懂题目信息，理解等积线是三角形的相应的中线是解题的关键．