Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，P是AD上异于A、D的任意一点，连接并延长BP、CP分别交AC于E，交AB于F．已知AE=AF，求证：BP=CP．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：利用全等三角形的判定定理SAS推知△AFP≌△AEP，则其对应角相等：∠APF=∠APE；然后由对顶角的性质和图中相关角间的和差关系推知∠APB=∠APC，则根据“ASA”判定△APB≌△APC，则BP=CP．

解答：证明：如图，∵在△ABC中，AD平分∠BAC，
∴∠FAP=∠EAP．
在△AFP与△AEP中，

AF=AE ∠FAP=∠EAP AP=AP

，
∴△AFP≌△AEP（SAS），
∴∠APF=∠APE．
又∠FPB=∠EPC，
∴∠APB=∠APC，
在△APB与△APC中，

∠BAP=∠CAP AP=AP ∠APB=∠APC

，
∴△APB≌△APC（ASA），
∴BP=CP．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．