Question

19．如图，过A（1，0）作x轴的垂线，交抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x于点C．D（3，a）为抛物线上一点，点M为线段OD上的一个动点，MN∥AC交抛物线于点N．
（1）求直线OD的解析式；
（2）若四边形ACNM为平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把D（3，a）代入抛物线的解析式求得a的值，然后设直线OD的解析式为y=kx，代入D的坐标，根据待定系数法即可求得；
（2）求得C的坐标，然后根据题意设出点M的坐标，表示出点N坐标，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形只要AC=MN，用它建立方程求出m，进而求得M的坐标即可．

解答 解：（1）∵D（3，a）为抛物线上一点，
∴a=-$\frac{4}{3}$×3²+$\frac{13}{3}$×3=1，
∴D（3，1）
设直线OD的解析式为y=kx，代入D的坐标得：1=3k，
∴k=$\frac{1}{3}$，
∴直线OD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x；
（2）过A（1，0）作x轴的垂线，交抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x于点C，
∴把x=1代入得，y=3，
∴C（1，3），
∴AC=3，
∵点M为直线OD上的一个动点，
∴设M（m，$\frac{1}{3}$m），
∴N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{13}{3}$m），
∴MN=|-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{13}{3}$m-$\frac{1}{3}$m|=$\frac{1}{3}$|-4m²+12m|，
∵四边形ACNM为平行四边形，
∴AC=MN，
∴$\frac{1}{3}$|-4m²+12m|=3，
∵0＜m＜4，
∴-4m²+12m＞0，
∴-4m²+12m=9，
∴m=$\frac{3}{2}$，
把x=m=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x得n=$\frac{7}{2}$
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

点评 此题考查了待定系数法求直线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得点的坐标是解本题的关键．