Question

如图所示，已知点O为△ABC的内心，连AO、BO、CO，过点O的直线分别交边AB、AC于点M、N，
（1）若∠BAC=70°，那么∠BOC=

 

°；
（2）如图1所示，若MN∥BC，BM=2，CN=3，求线段MN的长；
（3）如图2所示，若MN⊥AO，BM=2，CN=3，求线段MN的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据三角形的内心求出∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=55°，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质求出∠MOB=∠OBC，求出∠MOB=∠ABO，根据等腰三角形的判定得出BM=MO，同理NO=CN=3，求出即可；
（3）求出∠5=∠7，根据三角形的内心求出∠4=∠6=

1

2

∠BAC，∠12=∠10=

1

2

∠ABC，∠8=∠9=

1

2

∠ACB，求出∠1=∠2=∠3，∠10=∠11=∠12，根据相似三角形的判定得出△MBO∽△NOC，根据相似三角形的性质得出

MB

NO

=

MO

NC

，代入求出即可．

解答：解：（1）如图1，∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴点O为△ABC的内心，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×110°=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°，
故答案为：125°；

（2）∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∵O为△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠MOB=∠ABO，
∴BM=MO，
∵BM=2，
∴MO=2，
同理NO=CN=3，
∴MN=2+3=5，
即MN=5；  

（3）如图2，
∵AO⊥MN，O为△ABC的内心，
∴∠4=∠6，∠AOM=∠AON=90°，
∴∠5=∠7，
∵∠3+∠5=180°，∠2+∠7=180°，
∴∠2=∠3，
∵O为△ABC的内心，
∴∠4=∠6=

1

2

∠BAC，∠12=∠10=

1

2

∠ABC，∠8=∠9=

1

2

∠ACB，
∴∠1=180°-（∠10+∠8）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC
=90°+∠4，
∠2=180°-∠7
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC
=90°+∠4，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠8+∠10=180°，∠2+∠11+∠9=180°，
∵∠8=∠9，
∴∠10=∠11=∠12，
∴△MBO∽△NOC，
∴

MB

NO

=

MO

NC

，
∵OM=ON，MB=2，NC=3，
∴MO²=MB•CN=6，
∴MO=

6

，
∴MN=2

6

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的内心和内切圆，三角形的内角和定理的应用，能综合运用所学性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．