Question

【题目】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB，见解析

【解析】

（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF即可得出答案；

（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF即可得出答案；

（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，证明△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF即可得出答案．

解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：

如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．

故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；

（2）仍成立，理由：

如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

又∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．

证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，

∴∠ADC＝∠ABE，

又∵AB＝AD，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，

∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠FAE＝∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，

即2∠FAE+∠DAB＝360°，

∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．