Question

如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）证明勾股定理；
（2）说明a²+b²≥2ab及其等号成立的条件．

Answer 1

考点：勾股定理的证明

专题：

分析：（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）利用非负数的性质证明即可．

解答：解：（1）∵大正方形面积为c²，直角三角形面积为

1

2

ab，小正方形面积为：（b-a）²，
∴c²=4×

1

2

ab+（a-b）²=2ab+a²-2ab+b²
即c²=a²+b²．
（2）∵（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²+b²≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立．

点评：本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．