Question

已知等边△ABC的边长为6，A点坐标为（2，0），B点在x轴上，C点在第一象限．
（1）求顶点B、C的坐标；
（2）以点B为中心，将等边△ABC顺时针旋转60°，则旋转后的等边三角形与原来的等边三角形组成一个四边形，求这个四边形的第四个顶点坐标；
（3）求（2）中所得到的四边形的对角线的长．

Answer 1

分析：（1）根据A点坐标及AB的长，易求得点B的坐标，进而可结合等边三角形的性质求得C点坐标．
（2）由于△ABC是等边三角形，若旋转角度为60°，那么CD∥AB，因此只需将点C向右平移AB个单位即可求得点D的坐标．
（3）显然四边形ABDC是菱形，那么它的对角线互相垂直平分，即可通过解直角三角形求得两条对角线的长．

解答：解：（1）如图；
∵A点坐标为（2，0），|AB|=6，
∴|OB|=8，∴B点坐标为（8，0）．（2分）
作CH⊥AB于H，∵|AH|=3，|AC|=6，
∴|CH|=

|AC|2-|AH|2

=

62-32

=

27

=3

3

．
∴C点坐标为(5，3

3

)．（4分）

（2）以B为中心，将等边△ABC顺时针旋转60°，则A点旋转到C点，C点旋转到D点，如右图，则D点坐标为(11，3

3

)．

（3）如右图，∵|AB|=|BD|=|DC|=|CA|=6，
∴四边形ABDC是菱形．
∵△ABC是等边三角形，∴对角线|BC|=6．（6分）
连接AD，则AD⊥BC，若AD与BC交于M，则AM=

3

2

×6=3

3

．
∴|AD|=6

3

，即对角线BC=6，AD=6

3

．（8分）
（注：本题不画图不扣分）

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形等知识，难度适中．