Question

11．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．
（1）求证：DB=DM．
（2）若$\frac{AD}{DB}$=2，DE=6，求线段MN的长．
（3）若$\frac{AD}{DB}$=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为a-$\frac{a}{n}$（n＞1）或$\frac{a}{n}$-a（0＜n＜1）（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质以及平行线的性质即可求证∠B=∠DMB，从而可知DB=DM；
（2）根据相似三角形的判定求证△A′MN∽△A′DE，从而$\frac{MN}{DE}=\frac{A′M}{A′D}$=$\frac{1}{2}$，从可求出MN=$\frac{1}{2}$DE=3；
（3）由（2）可知：△A′MN∽△A′DE，利用相似三角形的性质即可求出MN的长度，由于n没有说明情况故需要进行分类讨论．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠A′DE=∠DMB，
由翻折可知：∠ADE=∠A′DE
∵∠B=∠DMB，
∴DB=DM，

（2）由翻折可知：A′D=AD
∵$\frac{AD}{DB}=2$，DB=DM，
∴$\frac{A′D}{DM}=2$，
∴$\frac{A′M}{A′D}$=$\frac{1}{2}$
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{A′M}{A′D}$=$\frac{1}{2}$
∵DE=6，
∴MN=$\frac{1}{2}$DE=3，

（3）由翻折可知：A′D=AD
∵$\frac{AD}{DB}$=n，DB=DM，
∴$\frac{A′D}{DM}$=n，
当n＞1时，
∴$\frac{A′M}{A′D}$=$\frac{n-1}{n}$
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{A′M}{A′D}$=$\frac{n-1}{n}$
∵DE=a，
∴MN=$\frac{n-1}{n}$DE=a-$\frac{a}{n}$，
同理：当0＜n＜1时，
此时∴$\frac{A′M}{A′D}$=$\frac{1-n}{n}$，
∴MN=$\frac{a}{n}-a$，
综上所述，MN=a-$\frac{a}{n}$（n＞1）或$\frac{a}{n}$-a（0＜n＜1）
故答案为：（3）MN=a-$\frac{a}{n}$（n＞1）或$\frac{a}{n}$-a（0＜n＜1）

点评 本题考查相似三角形的综合问题，解得关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．