题目内容
16．认真阅读下面材料并解答问题：在一次函数y=kx+b（k≠0）中，可按如下步骤变形：
①kx=y-b，
②x=$\frac{1}{k}$y-$\frac{b}{k}$（k≠0），
③把x=$\frac{1}{k}$y-$\frac{b}{k}$中的x，y互换，得到y=$\frac{1}{k}$x-$\frac{b}{k}$．
此时我们就把函数y=$\frac{1}{k}$x-$\frac{b}{k}$（k≠0）叫做函数y=kx+b的反函数．
特别地，如果两个函数解析式相同，自变量的取值范围也相同，则称这两个函数为同一函数．
（1）求函数y=$\frac{1}{2}$x+1与它的反函数的交点坐标；
（2）若函数y=kx+2与它的反函数是同一函数，求k的值．
分析 （1）根据反函数定义求得直线y=$\frac{1}{2}$x+1的反函数为y=2x-2，联立方程组求解可得；
（2）先求出函数y=kx+2的反函数为y=$\frac{1}{k}$x-$\frac{2}{k}$，根据两函数为同一函数可得k的值．
解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴y-1=$\frac{1}{2}$x，
2y-2=x，
则y=$\frac{1}{2}$x+1的反函数为y=2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴函数y=$\frac{1}{2}$x+1与它的反函数的交点坐标为（2，2）；
（2）∵y=kx+2，
∴kx=y-2，
x=$\frac{1}{k}$y-$\frac{2}{k}$，
则y=kx+2的反函数为y=$\frac{1}{k}$x-$\frac{2}{k}$，
∵函数y=kx+2与它的反函数是同一函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{k}=k}\\{-\frac{2}{k}=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-1．
点评 本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，根据新定义得出反函数的解析式并熟练求解两直线交点是解题的关键．
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