题目内容

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，┅┅
（1）根据你发现的规律写出第5个等式：．
（2）探究 $数学公式$ =．（用含有n的式子表示）
（3）计算： $数学公式$ ┅┅ $数学公式$ ．

解：（1） $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ；
（3） $\text{[math]}$ ┅┅ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．
分析：（1）观察发现，每一个等式的左边都是一个分数，其中分子是1，分母是连续的两个正整数之积，并且如果是第n个等式，分母中的第一个因数就是n，第二个因数是n+1；等式的右边是两个分数的差，这两个分数的分子都是1，分母是连续的两个正整数，并且是第n个等式，被减数的分母就是n，减数的分母是n+1．然后把n=5代入即可得出第5个等式；
（2）先将（1）中发现的第n个等式的规律 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 代入，再计算即可；
（3）先类比（1）的规律，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），再计算即可．
点评：本题考查了规律型：数字的变化，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），以及抵消法的运用是解题的关键．