Question

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下面问题
　

1

1×2

=1-

1

2

　   

1

2×3

=

1

2

-

1

3

     

1

3×4

=

1

3

-

1

4

（1）填空 

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=

9

10

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

；
（3）如果将问题改为如下形式，你还会计算吗？

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

；
（4）解方程

x

1×5

+

x

5×9

+

x

9×13

+…+

x

2009×2013

=503．

Answer 1

分析：（1）类比题目中的拆项方法，类比得出答案即可；
（2）利用（1）的结论进一步推广为一般形式得出结果；
（3）分母是相差4的两个自然数的乘积，类比拆成以两个自然数为分母，分子为1的两个自然数差的

1

4

即可，得出结论；
（4）利用（3）的方法转化为一元一次方程求出解即可．

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

；

（3）

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

=

1

4

×（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

）
=

1

4

×

12

13

=

3

13

；

（4）

x

1×5

+

x

5×9

+

x

9×13

+…+

x

2009×2013

=503

1

4

×（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

2009

-

1

2013

）x=503

1

4

×

2012

2013

x=503
x=2013．

点评：此题考查算式的规律，注意分数的分母、分子的特点，灵活进行拆项，进一步利用规律解决问题．