Question

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题：
由

1

1×2

=

1

2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

12

=

1

3

-

1

4

…
（1）计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+

1

7×8

=

 

（n为正整数）；
（2）化简：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+2008)(x+2009)

．

Answer 1

分析：运用公式

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

把题中的每一项展开，再计算即可．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

7

-

1

8

=1-

1

8

=

7

8

；
（2）原式=

1

x

-

1

x+1

+…+

1

x+2008

-

1

x+2009

=

1

x

-

1

x+2009

=

2009

x(x+2009)

．

点评：本题考查了分式的加减法．解题的关键是运用公式

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．