Question

如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点B，连结OB．将OB绕点O按顺时针方向旋转90°并延长至A，使OA=2OB，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求过点B的双曲线的函数关系式；
（2）根据反比例函数的图象，指出当x＜-1时，y的取值范围；
（3）连接AB，在该双曲线上是否存在一点P，使得S_△ABP=S_△ABO？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，OA=2OB，再根据OA=2OB，点A的坐标为（4，2）可得出B点坐标，进而得出反比例函数的关系式；
（2）由函数图象可直接得出结论；
（3）根据AB两点的坐标可知AB∥x轴，S_△ABP=S_△ABO=5，再分当点P在AB的下方与当点P在x轴上方两种情况即可得出结论．

解答：解：（1）作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，
∵OB⊥OA，∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM=∠NBO，
∴△AOM∽△OBN．
∵OA=2OB，
∴

BN

OM

=

ON

AM

=

1

2

，
∵点A的坐标为（4，2），
∴BN=2，ON=1，
∴B（-1，2）．
∴双曲线的函数关系式为y=-

2

x

；

（2）由函数图象可知，当x＜-1时，0＜y＜2；

（3）存在．
∵y_A=y_B，
∴AB∥x轴，
∴S_△ABP=S_△ABO=5，
∴当点P在AB的下方时，点P恰好在x轴上，不合题意舍去；
当点P在x轴上方时，点P在第二象限，得

1

2

AB•（y_P-2）=5，即

1

2

×5×（y_P-2）=5，解得y_P=4，
∴点P坐标为（-

1

2

，4）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积及相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．