Question

如图：⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，直线CD分别切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，连结CA并延长BD于点E，连结DA并延长交BC于F，连结BA并延长交CD于G．求证：
（1）∠CBD+∠EAF=180°；
（2）GD=GC；
（3）AC•DB=CB•AD．

Answer 1

考点：圆的综合题,弦切角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由弦切角定理可得∠GDA=∠DBA，∠GCA=∠CBA，根据三角形内角和定理可证到∠CBD+∠CAD=180°，再根据对顶角相等就可得到∠CBD+∠EAF=180°．
（2）由∠GDA=∠DBA可证到△DGA∽△BGD，从而可得GD²=GA•GB，同理GC²=GA•GB，从而得到GD=GC．
（3）由△DGA∽△BGD可得

AD

BD

=

AG

DG

，同理可得

AC

BC

=

AG

CG

，由GD=GC可得

AD

BD

=

AC

BC

，从而有AC•DB=CB•AD．

解答：解：（1）∵直线CD分别切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，
∴由弦切角定理可得：∠GDA=∠DBA，∠GCA=∠CBA．
∵∠CAD+∠GCA+∠GDA=180°，
∴∠CAD+∠CBA+∠DBA=180°．
∴∠CAD+∠CBD=180°．
∵∠CAD=∠EAF，
∴∠EAF+∠CBD=180°．

（2）∵∠GDA=∠DBA，∠AGD=∠DGB，
∴△DGA∽△BGD．
∴

GD

GB

=

GA

GD

．
∴GD²=GA•GB．
同理可得：GC²=GA•GB．
∴GD=GC．

（3）∵△DGA∽△BGD，
∴

AD

BD

=

AG

DG

．
同理可得：

AC

BC

=

AG

CG

．
∵GD=GC，
∴

AD

BD

=

AC

BC

．
∴AC•DB=CB•AD．

点评：本题考查了弦切角定理、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角相等等知识，而运用相似三角形的性质是解决本题的关键．