Question

4．设二次函数y₁=a（x-2）²+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），在x轴上截得的线段长为$2\sqrt{2}$．
（1）求a、c的值．
（2）对于任意实数k，规定：当-2≤x≤1时，关于x的函数y₂=y₁-kx的最小值称为k的“贡献值”，记作g（k）．求g（k）的解析式．
（3）在（2）条件下，当“贡献值”g（k）=1时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）将（0，1）代入得：4a+c=1，然后将4a+c=1与2a+c=0联立可求得a、c的值；
（2）由题意可知y₂=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1，抛物线的对称轴为x=k+2，然后分为k+2＜-2、-2≤k+2≤1、k+2＞1三种情况分别求得y₂的最小值即可；
（3）由g（k）=1列出关于k的方程，从而可求得k的值．

解答 解：（1）将（0，1）代入得：4a+c=1   ①．
又∵在x轴上截得的线段长为$2\sqrt{2}$．
∴令y=0，则a（x-2）²+c=ax²-4ax+4a+c=0，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16-4×\frac{4a+c}{a}}$=2$\sqrt{2}$，
，整理，得2a+c=0  ②，
联立①②，解得：a=$\frac{1}{2}$，c=-1．

（2）∵y₂=y₁-kx，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1=-kx=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1．
∴抛物线的对称轴为x=k+2．
当k+2＜-2时，即k＜-4时，当x=-2时，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×4+2（k+2）+1=2k+7；
当-2≤k+2≤1时，即-4≤k≤-1时，当x=k+2时，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$（k+2）²-（k+2）²+1=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1．
当k+2＞1时，即k＞-1时，当x=1时，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×1-（k+2）+1=-k-$\frac{1}{2}$．
综上所述，g（k）的解析式为g（k）=$\left\{\begin{array}{l}{2k+7（k＜-4）}\\{-\frac{1}{2}（k+2）^{2}+1（-4≤k≤-1）}\\{-k-\frac{1}{2}（k＞-1）}\end{array}\right.$．

（3）当k＜-4时：令y=2k+7=1，得k=-3，不合题意舍去；
当-4≤k≤-1时：令y=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1=1；得k=-2．
当k＞-1时：令y=-k-$\frac{1}{2}$=1，得k=-$\frac{3}{2}$，舍去．
综上所述，k=-2．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，找出二次函数在自变量取值范围内取得最小值的条件是解答本题的关键．