Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交与A、B两点，与y轴交与C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；
（2）当m变化时，试证明△BCM与△ABC的面积比值是定值，并求出此定值；
（3）若线段CM的垂直平分线过B点，求抛物线方程．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．
（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．
（3）根据线段CM的垂直平分线过B点可以得到CM=CB，利用两点之间的距离公式列出方程求得m的值即可．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）=m（x-1）²-4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）
∵抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0；
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．

（2）当x=0时，y=-3m，
∴点C的坐标为（0，-3m）．
∴S△ABC=

1

2

|3-（-1）|×|-3m|=6|m|=6m．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△OBC
=

1

2

BD•DM+

1

2

（OC+OM）•OD-

1

2

OB•BC
=

1

2

×2×4m+

1

2

（3m+4m）×1-

1

2

×3×3m
=3m．
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2，
故答案为：

1

2

；

（3）∵线段CM的垂直平分线过B点，
∴BM=BC，
∵抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）的顶点M的坐标为（1，-4m），B（3，0），C（0，-3m），
∴3²+（3m）²=（3-1）²-（4m）²，
解得：m=

35

7

．
故解析式为：y=

35

7

x²-

2 35

7

x-

3 35

7

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．