Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分了C₁经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组成一条封闭曲线，已知点C的坐标为（0，-1.5），M是抛物线C₂；y=tx²-2tx-3t（t＜0）的顶点．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）在第四象限的封闭曲线上确定一点P，使△PBC面积最大，求出此时△PBC的最大值；
（3）是否存在t值使得S_S△BCD=2S_△ACM？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，则tx²-2tx-3t=0，根据t＜0，可得出x²-2x-3=0A（-1，0），B（3，0），设抛物线C₁的表达式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把点C代入求出a的值，进而得出结论；
（2）根据S_△PBC=S_△POC+S_△BOP-S_△BOC就可得出结论；
（3）由D，M的坐标求出C、D的长，故可得出△BCD的面积，连接AM，交y轴于点E，直线AM的方程为y=-2tx-2t，2S_△ACM=-4t+3，再由S_△BCD=2S_△ACM，即可得出结论．

解答：解：（1）令y=0，则tx²-2tx-3t=0，
∵t＜0，
∴x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵设抛物线C₁的表达式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把C（0，-

3

2

）代入得，a=

1

2

，
∴抛物线C₁的表达式为y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）∵设P（p，

1

2

x²-x-

3

2

），
∴S_△PBC=S_△POC+S_△BOP-S_△BOC=-

3

4

（p-

3

2

）²+

27

16

，
∴当p=

3

2

时，△PBC的面积最大值为

27

16

；

（3）∵由C₂知D（0，-3t），M（1，-4t），
∴CD=-3t+

3

2

，
∴S_△BCD=

3

2

CD•OB=-

9

2

t+

9

4

，
连接AM，交y轴于点E，直线AM的方程为y=-2tx-2t，
∴E（0，-20），CE=-2t+

3

2

，
∴S_△ACM=-2t+

3

2

，
∴2S_△ACM=-4t+3，
∵S_△BCD=2S_△ACM，解得t=-

3

2

．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，难度较大．