Question

如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点E是CD的中点，FG=1，FG两端点F，G分别在AB，AD上滑动，当AF=

 

时，△BEC与以A，F，G为顶点的三角形相似．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定

专题：动点型

分析：连接BD，根据菱形的对角相等可得∠C=∠A=60°，然后判断出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BE⊥CD，然后分∠AFG=90°和∠AGF=90°两种情况讨论求解．

解答：解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=60°，BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∵点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∵△BEC与以A，F，G为顶点的三角形相似，
∴∠AFG=90°时，

FG

AF

=tan60°，
即

1

AF

=

3

，
解得AF=

3

3

，
∠AGF=90°时，

FG

AF

=sin60°，
即

1

AF

=

3

2

，
解得AF=

2 3

3

，
综上所述，AF的长度是

3

3

或

2 3

3

．
故答案为：

3

3

或

2 3

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．