Question

如图，已知点F在等腰直角△ABC的斜边BC上，且有AB=BF，BD⊥AB，AF⊥DF，AD与BC交于点E，以下判断：①△ABF是等边三角形；②△BDF≌△CFA；③AE=AF．其中正确的有（　　）

• A、②③
• B、①
• C、②
• D、③

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定,等腰直角三角形

专题：

分析：①根据三角形的性质，大角对大边即可证得．
②根据全等三角形的判定方法AAS即可证得．
③根据等角对等边即可证得．

解答：解：①∵点F在等腰直角△ABC的斜边BC上，
∴∠AFB=∠C+∠CAF＞∠C
∴AF＜AB，
∴△ABF是等边三角形是错误的；
②∵AB=BF，AB=AC，
∴∠BAF=∠BFA，BF=AC
又∵∠BAC=∠AFD=90°，
∴∠BFD=∠CAF，
∵∠FBD+∠ABC=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠FBD=∠C，
在△BFD与△CAF中，

BF=AC ∠BFD=∠CAF ∠FBD=∠C

，
∴△BDF≌△CFA（AAS） 正确；
③∵∠ABD=∠AFD=90°，
∴四边形ABDF共圆，
∴∠BAD=∠BFD，
∵∠AEF=∠ABC+∠BAD，∠AFE=∠ACB+∠BFD，∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=EF，正确；
故选A．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．