Question

19．已知抛物线y=x²+mx-$\frac{3}{4}$m²与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，x₁＜0＜x₂，且A、B两点到原点的距离AO、BO满足$\frac{1}{BO}$-$\frac{1}{AO}$=$\frac{2}{3}$，则这个函数的解析式为y=x²+2x-3．

Answer 1

分析 由题意可知x₁、x₂是方程x²+mx-$\frac{3}{4}$=0的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系及已知条件，可求出m的值，进而得到抛物线的解析式．

解答 解：
∵抛物线y=x²+mx-$\frac{3}{4}$m²与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，
∴x₁、x₂是方程x²+mx-$\frac{3}{4}$=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-$\frac{3}{4}$m²，
∵AO=-x₁，OB=x₂，
∵$\frac{1}{BO}$-$\frac{1}{AO}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{-x}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{-m}{-\frac{3}{4}{m}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
解得m=2，经检验，m=2是方程的解．
∴所求抛物线的解析式为y=x²+2x-3，
故答案为：y=x²+2x-3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标的求法、解方程等知识；熟练掌握抛物线与x轴的交点特征，求出抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键．