Question

3．在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{2}$，以A为圆心，1为半径的圆与BC边所在的直线相切，则∠BAC的度数是15°或105°．

Answer 1

分析 首先通过作辅助线构建直角三角形，然后分别得出三角形各内角度数，进而得出答案．

解答 解：如图1，设圆A与BC切于点D，连接AD，
则AD⊥BC，
在直角△ABD中，AB=2，AD=1，则sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
同理，在直角△ACD中，tanC=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得到∠CAD=45°，
因而∠BAC的度数是105°．
如图2，设圆A与BC延长线切于点D，连接AD，
则AD⊥BC，
在直角△ABD中，AB=2，AD=1，则sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
同理，在直角△ACD中，tan∠ACD=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得到∠CAD=45°，
因而∠BAC的度数是15°．
故答案为：15°或105°．

点评 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解题关键．