Question

13．在等腰Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=BC，在等腰Rt△BDE中∠BDE=90°，BD=DE，连接AD，点F是AD的中点．
（1）如图1，当点E和点F重合时，若BD=$\sqrt{5}$，求CD的长；
（2）如图2，当点F恰好在BE上，AB=AD时，求证：BD=$\sqrt{2}$CD．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CM⊥BD交BD的延长线于M．由△CBM≌△BAD，推出BD=CM，AD=BM，由AE=DE=BD，推出AD=2BD，BM=2BD，推出BD=DM=CM=$\sqrt{5}$，推出△DCM是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（2）如图2中，作AN⊥BM于N交BE于G，CM⊥BD于M．只要证明△CDM是等腰直角三角形，BN=DN=DM，即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作CM⊥BD交BD的延长线于M．

∵∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBM=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBM=∠BAD，
在△CBM和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠BAD}\\{∠M=∠ADB}\\{BC=BA}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△BAD，
∴BD=CM，AD=BM，
∵AE=DE=BD，
∴AD=2BD，BM=2BD，
∴BD=DM=CM=$\sqrt{5}$，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{10}$．

（2）证明：如图2中，作AN⊥BM于N交BE于G，CM⊥BD于M．

由（1）可知△CBM≌△BAN，
∴BN=CM，AN=BM，
∵AB=AD，AN⊥BD，
∴BN=DN，∵ED⊥BD，
∴AN∥DE，
∴∠GAF=∠FDE，BG=GE，
∴DE=2GN，
在△AGF和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠FDE}\\{∠AFG=∠DFE}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△DEF，
∴AG=DE=BD，
∴AN=3BN，BM=3CM，
∵BN=DN，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CM，
∵CM=BN=$\frac{1}{2}$BD，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴BD=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．