Question

18．一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=$\overline{abc}$，在m’所有的可能情况中，当|a+2b-c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a²+2b²-c²．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1-8|=3，|3+2×8-1|=18，|8+2×1-3|=7，|1+2×3-8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=1²+2×3²-8²=-45．
（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；
（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据案例找出t变化后得到的新数，验证后即可得出$\overline{n0n}$是t的“幸福美满数”．进而即可得出K（t）=n²-2×0²-n²=0．
（2）根据题意找出s、s′，结合19s+8s'=3888即可得出2x+y=12，根据“1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y”即可得出x、y的可能值，进而可找出s的“幸福美满数”和K（s）的值，取其最大值即可．

解答 （1）证明：$\overline{nn0}$按上述方法可得新数$\overline{n0n}$，
∵|n+2n-0|=3n，|n+2×0-n|=0，0＜3n，
∴$\overline{n0n}$是t的“幸福美满数”．
∴K（t）=n²-2×0²-n²=0．

（2）解：根据题意得：s=$\overline{1xy}$，s′=$\overline{1yx}$，
∵19s+8s'=3888，
∴19×（100+10x+y）+8×（100+10y+x）=3888，即2x+y=12．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y，
∴x=2，y=8；x=3，y=6．
∴s=128或s=136．
∵128是128的“幸福美满数”，136和316是136的“幸福美满数”，
∴K（s）=-55、-17或-25．
∴所有“梦想成真数”中K（s）的最大值为-17．

点评 本题考查了因式分解的应用以及解二元一次方程，解题的关键是：（1）结合案例找出t的“幸福美满数”；（2）结合案列找出s的“幸福美满数”．