Question

6．把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，DF经过点B，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O逆时针旋转，旋转角为α．其中0°＜α＜90°，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．下面三个结论：
（1）△APD∽△CDQ；
（2）AP•CQ的值不变，为8；
（3）当45°≤α＜90°时，设CQ=x，两块三角板重叠面积为$y=4-x-\frac{8-4x}{4-x}$．
其中正确的是（　　）

• A． （1）与（2）
• B． （1）与（3）
• C． （2）与（3）
• D． 全正确

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性质得∠A=∠EDF=∠C=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，则AD=CD=2$\sqrt{2}$，讨论：当0°＜α＜45°，如图1，利用三角形外角性质可证明∠ADP=∠DQC，加上∠A=∠C，则根据相似三角形的判定方法可判断△APD∽△CDQ，利用相似比可得AP•CQ=CD•AD=8，当45°≤α＜90°，如图2，利用同样方法可证明△APD∽△CDQ，同样得到AP•CQ=CD•AD=8，于是可对（1）、（2）进行判断；如图2，作DH⊥BC于H，DE交BC于M，由AP•CQ=8得到AP=$\frac{8}{x}$，则PB=$\frac{8}{x}$-4，证明△BPM∽△HDM，利用相似比可表示出BM=$\frac{8-4x}{4-x}$，所以MQ=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，根据三角形面积公式得到S_△DMQ=$\frac{1}{2}$•2•（4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$）=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，则可对（3）进行判断．

解答 解：∵△ABC和△DEF为全等的等腰直角三角形，
∴∠A=∠EDF=∠C=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴AD=CD=2$\sqrt{2}$，
当0°＜α＜45°，如图1，∵∠ADQ=∠C+∠DQC，即∠ADP+∠PDQ=∠C+∠DQC，
∴∠ADP=∠DQC，
而∠A=∠C，
∴△APD∽△CDQ，
∴AP：CD=AD：CQ，
∴AP•CQ=CD•AD=2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=8，
当45°≤α＜90°，如图2，同样方法得到△APD∽△CDQ，则AP：CD=AD：CQ，
∴AP•CQ=CD•AD=2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=8，所以（1）、（2）正确；
如图2，作DH⊥BC于H，DE交BC于M，则DH=BH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵AP•CQ=8，
∴AP=$\frac{8}{x}$，
∴PB=AP-AB=$\frac{8}{x}$-4，
∵PB∥DH，
∴△BPM∽△HDM，
∴BM：HM=BP：DH=（$\frac{8}{x}$-4）：2，即BM：（2-BM）=（$\frac{8}{x}$-4）：2，
∴BM=$\frac{8-4x}{4-x}$，
∴MQ=BC-BM-CQ=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，
∴S_△DMQ=$\frac{1}{2}$•2•（4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$）=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，
即当45°≤α＜90°时，设CQ=x，两块三角板重叠面积为$y=4-x-\frac{8-4x}{4-x}$，所以（3）正确．
故选D．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质；会灵活应用相似三角形的判定与性质．利用三角形面积公式，用x表示出MQ是判断（3）是否正确的关键．