题目内容
1．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称△ABC是好三角形．
小丽发现好三角形折叠的次数不同∠B与∠C的数量关系就不同．并作出展示：
第一种好三角形：如图2，沿AD折叠一次，点B与点C重合；
第二种好三角形：如图3，沿着AB1、A1B2经过两次折叠．
（1）小丽展示的第一种好三角形中∠B与∠C的数量关系是∠B=∠C；
（2）如果有一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是∠B=5∠C．
分析 （1）在小丽展示的第一种好三角形中，如答图1，根据折叠的性质推知∠B=∠C；
（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C．
解答 
解：（1）∠B=∠C；
如答图1，沿AD折叠一次，点B与点C重合，则AB=AC，故∠B=∠C．
故答案为：∠B=∠C；
（2）如答图2所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
所以，一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是：∠B=5∠C．
故答案为：∠B=5∠C．
点评 本题考查了几何变换综合题，翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
53随堂测系列答案
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，6），B（$2\sqrt{3}$，0），且∠OBA=60°，将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB，点O与点C对应．
把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，DF经过点B，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O逆时针旋转，旋转角为α．其中0°＜α＜90°，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．下面三个结论：（1）△APD∽△CDQ；
（2）AP•CQ的值不变，为8；
（3）当45°≤α＜90°时，设CQ=x，两块三角板重叠面积为$y=4-x-\frac{8-4x}{4-x}$．
其中正确的是（ ）
| A． | （1）与（2） | B． | （1）与（3） | C． | （2）与（3） | D． | 全正确 |
| A． | 2 | B． | 1 | C． | -1 | D． | 不存在 |