Question

9．如图，直角坐标系中，等边△ABC的∠BAC的平分线交y轴于D，C（0，6）
（1）求D点的坐标（如图①）；
（2）如图②，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限作等边△CEF，求证：CB+BE=BF．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质及30°的角所对的直角边为斜边的一半可得出结论；
（2）在BF上取一点M，使得BM=BC．利用等边三角形的性质证得△BCF≌△ACE，△BCE≌△MCF，易得结论；

解答 解：（1）如图1中，

∵△ABC为等边三角形，AD为∠BAC的平分线，OC⊥AB，
∴∠DAC=∠DCA=30°
∴AD=CD，∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD，
∴3OD=6，OD=2，
∴D（0，2）；

（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM=BC．

∵△ABC与△CEF为等边三角形，
∴AC=AB，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECF+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCF，
在△BCF与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠BCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF=∠CAE=60°，
∴△CBM是等边三角形，
∴CM=CB，∠BCM=∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠MCF，
在△BCE和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=CF}\\{∠BCE=∠MCF}\\{BC=CM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△MCF，
∴BE=FM，
∴BF=BM+MF=BC+BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是重合添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．