Question

4．已知，△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，连接AD，∠ADB=60°，在AD上取一点E使AE=CD，求证：△BDE为等边三角形．

Answer 1

分析 首先延长DC到F，使CF=BD，连接AF，易得△ABD≌△ACF，继而可得△ADF是等边三角形，△DEB是等边三角形．

解答 证明：延长DC到F，使CF=BD，连接AF，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACF}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD=AF，
又∵∠ADB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF，
∵AD=AE+DE，DF=DB+BC+CF，
又∵AE=CD，且∠ADB=60°
∴△DEB是等边三角形．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．