Question

10．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED=6，AE=10，则菱形AECF的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）由PQ为线段AC的垂直平分线得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；
（3）由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出AC的长，由菱形的面积公式即可得出结果．

解答 （1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，
，∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{EAC=∠FCA}&{\;}\\{∠CFD=∠AED}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形；
（3）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵ED=6，AE=10，
∴EF=2ED=12，AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
∴AC=2AD=16，
∴菱形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×16×12=96．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、全等的判定与性质、盖棺定论、基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．