Question

12．在△ABC中，外接圆圆心为O，重心为G，垂心为H，求证：三点O，G，H共线且OG=$\frac{1}{2}$GH．

Answer 1

分析 设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接HO，AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC，利用三角函数得出OM=Rcos∠BAC，利用垂心及直角三角形可得∠ACB=∠AHD，利用三角函数及正弦定理可得AH=2Rcos∠BAC，进而得出AH=2OM，即点G为三角形的重心，得出三点O，G，H共线，再利用△AHG∽△MOG，即可得出OG=$\frac{1}{2}$GH．

解答 证明：如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接HO，AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC，

∴AH∥OM连接OB、OC，
∵O是△ABC的外心，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=∠COM，
∴OM=OC•cos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径），
连接BH并延长交AC于点D，
∵H是△ABC的垂心，
∴BD⊥AC
延长MO交AC于点N，
∵AH∥OM，
∴∠CAH=∠CNM，
∵∠ACB+∠CNM=90°，
∴∠ACB+∠CAH=90°，
∵∠AHD+∠CAH=90°，
∴∠ACB=∠AHD，
∴AH=$\frac{AD}{sin∠AHD}$=$\frac{ABcos∠BAC}{sin∠ACB}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}$•cos∠BAC=2Rcos∠BAC，（注：正弦定理$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2R）
∴AH=2OM，
设OH和AM交於G，则△AHG∽△MOG，
∴AG：GM=AH：OM=2：1，
∴G是△ABC的重心，即O、M、G三点共线，
∵OG：GH=OM：AH=1：2，
∴OG=$\frac{1}{2}$GH．

点评 本题主要考查了三角形的五心，涉及三角形的外心，重心，垂心，相似三角形的判定及性质，圆周角与圆心角等知识，解题的关键是正确作出辅助线，得出∠ACB=∠AHD．