Question

如图在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点C在y轴上，双曲线y=

k

x

恰好经过顶点A，且对角线AB=8，OC=6

（1）求双曲线的解析式；
（2）若点E（-

4

3

，a）在线段AC上，P为线段OC上一点，过P点的直线PE交AO的延长线于点F，且OF=CE，求点P的坐标；
（3）在第四象限的双曲线上，是否存在一点M，使S_△AMC=2S_△AOC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质可得到A点坐标为（-4，3），然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（2）作EH⊥y轴于H，FQ⊥y轴于Q，先利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=

4

3

x+6，则可得到E点坐标为（-

4

3

，5），则CH=1，EH=

4

3

，然后证明Rt△CEH≌Rt△OFQ，则CH=OQ=1，EH=EQ=

4

3

，所以F点坐标为（

4

3

，-1），接着先利用待定系数法确定直线EF的解析式为y=-

9

4

x+2，于是可得到P点坐标；
（3）由于S_△AMC=2S_△AOC，而OC=6，把直线AC向下平移12个单位，得直线l，则l的解析式为y=

4

3

x-6，所以直线l与反比例函数的交点坐标为M点，然后解方程组

y= 3 4 x-6 y=- 12 x

可确定M点坐标．

解答：解：（1）∵四边形AOBC为菱形，
∴AB与OC互相垂直平分，
∴AD=

1

2

AB=4，OD=

1

2

OC=3
∵而C在y轴上，
∴A点坐标为（-4，3），
把A（-4，3）代入y=

k

x

得k=-4×3=-12，
∴双曲线的解析式为y=-

12

x

；

（2）作EH⊥y轴于H，FQ⊥y轴于Q，如图2，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-4，3）和C（0，6）代入得

-4m+n=3 n=6

，解得

m= 3 4 n=6

，
∴直线AC的解析式为y=

4

3

x+6，
把点E（-

4

3

，a）代入a=

4

3

×（-

3

4

）+6=5，
∴E点坐标为（-

4

3

，5），
∴CH=1，EH=

4

3

∵四边形AOBC为菱形，
∴∠ACO=∠AOC，
而∠AOC=∠QOF，
∴∠AOC=∠QOF，
∵CE=OF，
∴Rt△CEH≌Rt△OFQ，
∴CH=OQ=1，EH=EQ=

4

3

，
∴F点坐标为（

4

3

，-1），
设直线EF的解析式为y=ax+b，
把E点（-

4

3

，5）、F（

4

3

，-1）代入得

- 4 3 a+b=5 4 3 m+n=-1

，解得

a=- 9 4 b=2

，
∴直线EF的解析式为y=-

9

4

x+2，
令x=0，则y=2，
∴P点坐标为（0，2）；

（3）存在．
∵S_△AMC=2S_△AOC，
而OC=6，
把直线AC向下平移12个单位，得直线l，则l的解析式为y=

4

3

x-6，
∴直线l与反比例函数的交点坐标为M点，
解方程组

y= 3 4 x-6 y=- 12 x

得

x=4 y=-3

，
∴M点坐标为（4，-3）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式；熟练运用菱形的性质和解析式法确定直线交点坐标．