Question

17．已知x₁，x₂是方程2x²+3x-4=0的两个根，求$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-2，再利用通分和完全平方公式变形得到$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-2，
$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}-2×（-2）}{（-2）^{2}}$=$\frac{25}{16}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．