Question

（1）如图1，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．
（2）已知：如图2，AB为⊙C的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．若AB=2，求PA的长．

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，再根据角平分线的性质可得CE=FC；
（2）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°-30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°；连结BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=

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．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=

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．

解答：证明：（1）连接AC，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠DAC，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF；
                                 
解：（2）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．
∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°-30°=60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA=PC，可得△PAC是等边三角形，得∠P=60°．
如图，连结BC．

∵AB是直径，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=

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．
又∵△PAC是等边三角形，
∴PA=AC=

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．

点评：此题考查菱形的性质、角平分线的性质以及圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，属于基础题．