Question

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=CD．
（1）若AD=2，AB=1，求四边形ABCD的面积；
（2）若BC=6，∠DBC=30°，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥BC于E，求出AD=BE=2，AB=DE=1，求出BC，即可求出答案；
（2）求出BD=DC=2$\sqrt{3}$，求出AB，即可求出答案．

解答 解：（1）
过D作DE⊥BC于E，则∠DEB=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABE=∠DEB=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD=BE=2，AB=DE=1，
∵BD=DC，DE⊥BC，
∴BE=CE=2，
∴BC=2+2=4，
∴四边形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$×（AD+BC）×AB=$\frac{1}{2}$×（2+4）×1=3；

（2）∵在Rt△DEB中，∠DEB=90°，∠DBC=30°，BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×6$=3，
∴CD=BD=$\frac{BE}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，DE=AB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，AD=BE=3，
∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=$\sqrt{3}$+6+2$\sqrt{3}$+3=9+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的性质和判定的应用，能求出各个边的长度是解此题的关键．