Question

已知如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，MN⊥BD且与MD的平行线BN相交于N．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求菱形BNDM相邻两角的度数．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=

1

2

AC，设BD与MN相交于点O，根据等腰三角形三线合一可得BO=DO，再根据两直线平行，内错角相等可得∠MDO=∠NBO，然后利用“角边角”证明△MDO和△NBD全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠BMC，再根据等腰直角三角形的性质求出∠CMD=90°，然后求出∠BMD，再根据菱形的邻角互补列式计算即可求出∠MBN．

解答：（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，
∴BM=DM=

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2

AC，
设BD与MN相交于点O，
∵MN⊥BD，
∴BO=DO，
∵MD∥BN，
∴∠MDO=∠NBO，
在△MDO和△NBD中，

∠MDO=∠NBO BO=DO ∠MOD=∠NOB=90°

，
∴△MDO≌△NBD（ASA），
∴OM=ON，
∴BD、MN互相垂直平分，
∴四边形BMDN是菱形；

（2）解：∵∠BAC=30°，∠ACD=45°，
∴∠BMC=30°×2=60°，
∠CMD=90°，
∴∠BMD=60°+90°=150°，
∵DM∥BN，
∴∠MBN=180°-150°=30°，
∴菱形BNDM相邻两角的度数是150°，30°．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．