Question

如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，BD∥AC，∠D=30°，若把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，则α为（　　）

• A、15°或30°
• B、30°或45°
• C、15°或45°
• D、30°或60°

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：由∠BAC=90°，AB=AC可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，则利用互余可计算出∠BAD=60°，由于把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，而等腰三角形的腰不能确定，所以分类讨论：当AE=AF时，如图1，根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判断△AEF为等边三角形，得到∠1=∠2=60°，则可根据三角形外角性质可计算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；当AFA=FC时，如图2，∠BAB′=α，根据等腰三角形的性质得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值为15°或45°．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BAD=60°，
把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，
当AE=AF时，如图1，则∠BAB′=α，∠B′AD=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
而∠1=∠B+∠BAB′，
∴∠BAB′=60°-45°=15°，
即α=15°；
当AFA=FC时，如图2，则∠BAB′=α，
∵∠ACB=45°，
∴∠FAC=45°，
∴∠BAB′=90°-45°=45°，
即α=45°；
综上所述，α的值为15°或45°．
故选C．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．