Question

矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB=4，∠CAE=15°，则OE的长为（　　）

• A、2

  6

  -2

  2

• B、4

  3

  -4
• C、2

  3

  -2

  2

• D、4

  6

  -4

  2

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：作出图形，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BE，然后求出∠BAC=60°，再求出BC，过点O作OF⊥BC于F，然后根据矩形的性质求出OF，再求出EF，利用勾股定理列式计算即可求出OE．

解答：解：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAC=

1

2

×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=4，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
∴BC=

3

AB=4

3

，
过点O作OF⊥BC于F，
∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴OF=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
BF=

1

2

BC=

1

2

×4

3

=2

3

，
在Rt△OEF中，OE=

OF2+EF2

=

22+(4-2 3 )2

=

32-16 3

=

(2 6 -2 2 )2

=2

6

-2

2

．
故选A．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键，难点在于把被开方数写成完全平方公式的形式．