Question

16．如图，直线OB是一次函数y=-2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使△ACO为等腰三角形，则点C的坐标是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）、（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）或（-1，2）．

Answer 1

分析 设点C的坐标为（m，-2m），利用两点间的距离公式找出OA、OC、AC的长，分OA=OC、OA=AC、OC=AC三种情况找出关于m的方程，解方程求出m的值，再将其代入点C坐标中即可得出结论．

解答 解：设点C的坐标为（m，-2m），
∵A（0，2），O（0，0），
∴OA=2，OC=$\sqrt{5}$|m|，AC=$\sqrt{（{m-0）}^{2}+（-2m-2）^{2}}$．
△ACO为等腰三角形分三种情况：
①当OA=OC时，有2=$\sqrt{5}$|m|，
解得：m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
此时点C的坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）；
②当OA=AC时，有2=$\sqrt{（{m-0）}^{2}+（-2m-2）^{2}}$，
解得：m=-$\frac{4}{5}$或m=0（舍去），
此时点C的坐标为（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
③当OC=AC时，有$\sqrt{5}$|m|=$\sqrt{（{m-0）}^{2}+（-2m-2）^{2}}$，
解得：m=-1或m=0（舍去），
此时点C的坐标为（-1，2）．
故答案为：（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）、（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）或（-1，2）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，解题的关键是分OA=OC、OA=AC、OC=AC三种情况找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质找出方程是关键．