Question

阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在边BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是

 

，DE的长为

 

．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=

1

2

∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：对于图2，由旋转性质得到∠ACF=∠B=45°，CF=BD，所以∠FCE=∠ACF+∠ACB=90°，然后利用勾股定理计算EF，即可得到DE；
对于图3，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，根据旋转的性质得BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，由于∠B+∠ADC=180°，则∠ADG+∠ADC=180°，则可判断点F，D，G在同一条直线上，接着证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，由于FG=DG+FD=BE+DF，于是得到EF=BE+FD．

解答：解：如图2，∵∠ACF=∠B=45°，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
在Rt△EFC中，∵CF=BD=3，CE=1，
∴EF=

CF2+CE2

=

32+12

=

10

，
∴DE=

10

，
故答案为90°；

10

；
如图3，
猜想：EF=BE+FD．理由如下：
如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADG+∠ADC=180°，即点F，D，G在同一条直线上，
∵∠DAG=∠BAE，
∴∠GAE=∠BAD，
∵∠EAF=

1

2

∠BAD，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+FD=BE+DF，
∴EF=BE+FD．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．