Question

如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，将直角三角板的直角顶点与AC的中点重合，把三角板绕着点D旋转，两条直角边分别交边AB于E，交边BC于F，若AB=

5

，则S_△ADE+S_△DFC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：连接BD，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上中线性质得出AD=DC=BD，∠A=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=45°，BD⊥AC，求出∠ADB=∠CDB=90°，∠EDB=∠FDC，证出△EDB≌△FDC，推出S_△EDB=S_△FDC，同理S_△ADE=S_△BDF，求出△ABC的面积即可．

解答：解：连接BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D为斜边AC的中点，
∴AD=DC=BD，∠A=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=45°，BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDB=∠FDC=90°-∠BDF，
在△EDB和△FDC中，

∠EDB=∠FDC BD=DC ∠EBD=∠C=45°

，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴S_△EDB=S_△FDC，
同理S_△ADE=S_△BDF，
∵AB=

5

，
∴BC=AB=

5

，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×BC=

1

2

×

5

×

5

=

5

2

，
∴S_△ADE+S_△DFC=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

5

2

=

5

4

，
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质的应用，解此题的关键是推出△EDB≌△FDC和△ADE≌△BDF．