Question

19．如图，点P在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，PN⊥PM，M为y轴负半轴上的一点，N为x轴上的点，且PM=PN，则ON-OM的值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，由条件可证明△PAN≌△PBM，可得到PA=PB，可证明四边形PAOB为正方形，可求得P点坐标，又由全等可得OM=AN，可求得ON-OM的值．

解答 解：
如图，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，设PM交x轴于点C，
∴∠PAN=∠PBM=90°，四边形PAOB为矩形，
∵PM⊥PN，
∴∠PCN+∠PNA=∠OCM+∠OMC=90°，
∵∠PCN=∠OCM，
∴∠PNA=∠PMB，
在△PAN和△PBM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠PBM}\\{∠PNA=∠PMB}\\{PN=PM}\end{array}\right.$
∴△PAN≌△PBM（AAS），
∴PB=PA，BM=AN，
∴矩形PAOB为正方形，
可设P点坐标为（x，x），代入反比例函数解析式可得x²=3，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴BO=OA=$\sqrt{3}$，
∴ON-OM=OA+AN-OM=OA+BM-OM=OA+OB=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，由条件求得P点坐标是解题的关键．