Question

2．如图，正方形ABCD中，点E为BC的中点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC．
求证：（1）F点为DC的中点
（2）PE+PF=$\sqrt{2}$PC．

Answer 1

分析 （1）由△ADF≌DCE，推出DF=CE，由EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，推出DF=$\frac{1}{2}$DC，即可证明F点为DC的中点；
（2）如图作CM⊥CP交PE的延长线于M．只要证明△PCF≌△MCE，推出PF=EM，PC=CM，推出△PCM是等腰直角三角形，即可解决问题；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠APD=∠DPF=90°，
∴∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EDC}\\{∠ADF=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌DCE，
∴DF=CE，
∵EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴F点为DC的中点；

（2）如图作CM⊥CP交PE的延长线于M．
∵△ADF≌△DCE，
∴∠AFD=∠DEC，
∴∠PFC=∠CEM，
∵∠PCM=∠DCB=90°，
∴∠PCF=∠ECM，∵CF=CE，
∴△PCF≌△MCE，
∴PF=EM，PC=CM，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$PC，
∴PE+EM=PE+PF=$\sqrt{2}$PC，
∴PE+PF=$\sqrt{2}$PC．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形．