Question

【题目】如图，已知点是外一点，直线与相切于点，直线分别交于点、，，交于点．

（1）求证：；

（2）当的半径为，时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）21．

【解析】

（1）连接OB，由切线的性质可得OB⊥PA，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠CBD=90°，再根据等角的余角相等推出∠BCD=∠BOA，由等量代换得到∠CBO=∠BOA，即可证平行；

（2）先由勾股定理求出BD，然后由垂径定理得到DE，求出OE，再利用△ABE∽△DOE的对应边成比例，即可求出AE．

（1）如图，连接OB，

∵直线PA与相切于点B，

∴OB⊥PA，

∴∠PAO+∠BOA=90°

∵CD是的直径

∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD=90°

又∵∠PAO=∠PDB

∴∠BOA=∠BCD

∵OB=OC

∴∠BCD=∠CBO

∴∠CBO=∠BOA

∴OA∥BC

（2）∵半径为10，，

∴BD=

由（1）可知∠CBD=90°，OA∥BC

∴OE⊥BD

∴是的中点，DE=BD=

∴

∵，

∴，

∴，即

∴．