Question

【题目】抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴的两个交点分别为和，与轴的交点为，其中．

（1）写出点的坐标________；

（2）若抛物线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求点的坐标；

（3）点是线段上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）MD长度的最大值为．

【解析】

（1）抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为（-1，0），则点B（3，0），即可求解；
（2）由S△POC=2S△BOC，则x=±2OB=6，即可求解；
（3）设：点M坐标为（x，x-3），则点D坐标为（x，x2-2x-3），则MD=x-3-x2+2x+3，即可求解．

解：（1）抛物线的对称轴为，点坐标为，则点，

故：答案为；

（2）二次函数表达式为：，

即：，解得：，

故抛物线的表达式为：，

所以

由题意得：，

设P（x, ）

则

所以则，

所以当时，=-21，当时，=45

故点的坐标为或；

（3）如图所示，

将点坐标代入一次函数得表达式得

，解得：，

故直线的表达式为：

，

设：点坐标为，则点坐标为，

则，

故MN长度的最大值为．