Question

【题目】如图，是⊙的直径，弦,垂足为，，连结，为的中点，连结，过点作直线，交的延长线于点．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，求⊙的半径

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）连接OE，OF，利用垂径定理及等腰三角形的性质得到∠DOF=∠DOE．而∠DOE=2∠A，所以，由 得到，

于是可求出，所以为⊙的切线；
（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°．再证明OM∥AE得到∠MOB=∠A=30°．而∠DOF=2∠A=60°，所以∠MOF=90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得OM，然后根据勾股定理列出方程求解即可．

解：（1）如图，连结，，

∵，是⊙的直径

∴，

∵，，

∴

∵，

∴，

∴

∴为⊙的切线

（2）连接，

∵为⊙的直径，

∴为中点，，

∵为的中点，

∴，

设⊙的半径为．

∵，

∴，

∴．

∵,，

∴

∵

∴

∴，

∵，

∴.

解得．（舍去负根）

∴⊙的半径为2.