Question

【题目】已知：和均为等腰直角三角形，，，，连接.

（1）如图1所示，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；

（2）在图1中，若点M、P、N分别为的中点，连接，请判断的形状，并说明理由；

（3）如图2所示，若M、N、P分别为上的点，且满足，，连接，则线段长度是多少？

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直；（2）为等腰直角三角形，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）延长BD与EC相交于F，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得BD=CE,，再进一步证明可得∠BFC=90°，由此可证明与垂直且相等；

（2）结合（1），根据中位线的定理，可推出为等腰直角三角形；

（3）证明△CPN∽△CDB，△DPM∽△DCE，根据相似三角形的性质可求得NP和MP的值，结合（2）可证明∠NPM=90°，根据勾股定理可求得MN的长度.

解：（1）如下图延长BD与EC相交于F，

∵和均为等腰直角三角形，，

∴

∴

又∵，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE,，

∵

∴,

∴

∴,即

∴,即.

故线段与的数量关系是相等，位置关系是垂直.答案为:相等，垂直.

（2）为等腰直角三角形，理由如下：

∵点M、P、N分别为的中点，

∴NP和MP分别为△BCD和△ECD的中位线，

∴

∴，

由（1）得BD=CE，

∴，

由（1）得，

∴

∴,即.

∴为等腰直角三角形.

（3）∵

∴

又∵∠BCD=∠BCD

∴△CPN∽△CDB

∴，，

∴NP//BD，

∵

∴,

同理可证△DPM∽△DCE，，MP//EC，

∴

与（2）同理可证，

∴在Rt△中，根据勾股定理

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