Question

5．如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
（1）求证：AE∥CF；
（2）若∠DAB=50°，求∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）证明：根据四边形的内角和∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°得到∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°，由于∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB，于是得到∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°，根据三角形的内角和定理得到∠3+∠2=180°-∠B=90°，得到∠1=∠3，于是得到结论；
（2）根据∠DAB=50°，求得∠DCB=130°，于是得到∠2=∠DCF=65°，根据AE∥CF，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180度，
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90度，
∵∠3+∠2+∠B=180°，
∴∠3+∠2=180°-∠B=90度，
∴∠1=∠3
∴AE∥CF；

（2）解：∵∠DAB=50°，
∴∠DCB=130°，
∴∠2=∠DCF=65°，
∵AE∥CF，
∴∠AEC+∠DCF=180°，
∴∠AEC=115°．

点评 本题考查了四边形内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，平行线的判定，熟练掌握各性质是解题的关键．