题目内容
15．为了激发学生学习英语的兴趣，某中学举行了校园英文歌曲大赛，并设立了一、二、三等奖．学校计划根据设奖情况共买50件奖品，其中购买二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件，购买三等奖奖品所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，且三等奖奖品数不能少于前两种奖品数之和．其中各种奖品的单价如下表所示，如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元．| 奖品 | 一等奖奖品 | 二等奖奖品 | 三等奖奖品 |
| 单价（元） | 20 | 10 | 5 |
（2）请问共有哪几种方案？
（3）请你计算一下，学校应如何购买这三种奖品，才能使所支出的总费用最少，最少是多少元？
分析 （1）设一等奖奖品买x件，则二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少10件为（2x-10），进一步表示出三等奖；分别算出三种奖品的费用相加即是总费用；
（2）再根据题意列出不等式组即可求解；
（3）一次函数的系数k=25，故根据函数的性质可知w随x的增大而增大．根据题（1）可求最小值．
解答 解：（1）∵买一等奖奖品x件，
∴买二等奖奖品（2x-10）件，三等奖奖品（60-3x）件，
∴W=20x+10（2x-10）+5（60-3x）=25x+200；
（2）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{5（60-3x）≤1.5×10（2x-10）}\\{x+2x-10≤60-3x}\end{array}\right.$，
解得10≤x≤$\frac{35}{3}$
∴x=10，11
答：有两种方案，方案一：一等奖10人，二等奖10人，三等奖30人；方案二：一等奖11人，二等奖12人，三等奖27人．
（3）∵W随x的增大而增大，
∴x=10时，
W最小=450；
答：购买一等奖10人，二等奖10人，三等奖30人；才能使所支出的总费用最少，最少是450元．
点评 本题考查一次函数与一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．利用函数的单调性来求最值问题是常用的方法之一，要熟练掌握．
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